Кафедра диференціальних рівнянь

Керівник підрозділу: Євтухов В’ячеслав Михайлович, доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри, Голова спеціалізованої Ради К41.051.05 при Одеському університеті, заступник Голови експертної ради з природничих наук та математики ДАК України, член науково-методичної комісії з математики Міністерства освіти та науки України, член бюро Українського математичного товариства.

Заступник керівника: Самкова Галина Євгенівна, кандидат фізико-математичних наук, доцент, член журі Всеукраїнської олімпіади юних математиків, член журі і складач задач Всеукраїнської Internet- олімпіади.

Список співробітників кафедри

Контактна інформація підрозділу

тел. (048) 717-89-64

Спеціалізація підрозділу: диференціальні рівняння

Історія підрозділу

Кафедра диференціальних рівнянь створена у 1960 році, коли фізико-математичний факультет був поділений на механіко-математичний і фізичний факультети. Вона забезпечує викладання в ІМЕМі основних курсів з теорії звичайних диференціальних рівнянь, теорії функцій комплексної змінної, додаткових розділів теорії диференціальних рівнянь, асимптотичному інтегруванню нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку, з математичних методів мікро і макроекономіки, та вищої математики для фармацевтів хімічного факультету. Кафедра є випусковою. Готує спеціалістів і магістрів зі спеціальності 01.01.02 - диференціальні рівняння. Викладачами кафедри читаються спецкурси з якісної теорії диференціальних рівнянь, аналітичної теорії диференціальних рівнянь, з теорії функціонально-диференціальних рівнянь, з асимптотичних методів в теорії диференціальних рівнянь, з мікро і макроекономіки. Через аспірантуру готуються кадри вищої кваліфікації. На кафедрі виконано 32 кандидатських і 2 докторських дисертації.

З 1960 по 1989 рік кафедру очолював професор Гаврилов Миколай Іванович. Після закінчення аспірантури Московського університету імені М.В. Ломоносова, де його науковим керівником був академік Петровський І.Г., він ще один рік працював на кафедрі академіка Тихонова А.Н. У 1950 приймає запрошення переїхати до Одеси і починає працювати викладачем фізико-математичного факультету Одеського національного університету імені І.І.Мечникова. У 1952 році захищає кандидатську дисертацію “Об устойчивости по Ляпунову систем линейных дифференциальных уравнений”, а у 1954 році - докторську дисертацію “Новый метод исследования нелинейных дифференциальных уравнений, основанный на теории моментов”. Після створення у 1960 році механіко-математичного факультету стає його першим деканом і завідувачем кафедри диференціальних рівнянь. Наукова діяльність професора Гаврилова М.І. найвищою мірою сприяла становленню механіко – математичного факультету і Одеської математичної школи. Він підготував 12 кандидатів фізико- математичних наук. Основні наукові інтереси професора Гаврилова М.І. були пов’язані з дослідженням важливіших наукових проблем- теорії дзета-функції Рімана, проблемою Бібербаха в теорії однолістних аналітичних функцій, стійкістю сонячної системи, стійкістю Гамільтонових систем, тощо. Незважаючи на різну оцінку його результатів, він залишався справжнім науковцем. Отримана їм детермінантна ознака стійкості лінійних систем диференціальних рівнянь є одним з відоміших результатів у теорії стійкості. Одержані Гавриловим М.І. результати опубліковано в чотирьох монографіях і більше ніж 40 наукових працях. З 1989 по 2004 рік працював на посаді професора кафедри. Помер 13 марта 2004 року на 87 році життя.

У 1989 році завідуючим кафедрою диференціальних рівнянь був обраний Євтухов В’ячеслав Михайлович. Він у 1972 році з відзнакою закінчив механіко-математичний факультет Одеського університету імені І.І. Мечникова . В аспірантурі навчався на кафедрі математичного аналізу за спеціальністю диференціальні рівняння. Його науковим керівником був проф. Костіна О.В. Після закінчення аспірантури працював асистентом, старшим викладачем і доцентом на кафедрах математичного аналізу і вищої математики. Кандидатську дисертацію «Асимптотическое поведение pешений одного нелинейного диффеpенциального ypавнения втоpого поpядка типа Эмдена-Фаyлеpа» захистив у 1980 році, а докторську «Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений» - у 1998 році в Інституті математики НАН України. Наукові дослідження професора Євтухова В.М. пов’язані з розробкою методів асимптотичного інтегрування лінійних і істотного нелінійних неавтономних звичайних диференціальних рівнянь. В цьому напрямку Євтуховим В.М. опубліковано понад 100 наукових праць. Найбільш вагомими з них є роботи, що стосуються дослідження асимптотичного поводження розв’язків істотно нелінійних неавтономних диференціальних рівнянь другого і вищих порядків, а також побудови перетворень для систем лінійних диференціальних рівнянь. Під його науковим керівництвом виконано п’ять кандидатських дисертацій. Одержані В.М.Євтуховым і його учнями результати були використані фізиками при вивчені розподілу електростатичного потенціалу в сферично і циліндрично - симетричних об’ємах плазми продуктів горіння.

Активну наукову роботу на кафедрі проводили учні М.І. Гаврилова і перші співробітники кафедри доценти Грабовська Рада Георгієвна і Костін Володимир Васильйович. Після захисту у 1967 році кандидатської дисертації Костін В.В. вперше став займатися поширенням відомих результатів Брюно А.Д. на класи неавтономних систем диференціальних рівнянь. На жаль трагічна смерть обірвала життя доцента Костіна В.В. в самий творчий період його життя. Ідеї В.В. Костіна частково були реалізовані в кандидатській дисертації його учня Чернишова В.Г., науковою роботою якого після смерті Костіна В.В. керував професор Костін О.В.

Доцент Грабовська Р.Г. працює на кафедрі з 1960 року по теперішній час. Кандидатську дисертацию захистила у 1961 році в Інституті математики АН Україны. Наукові дослідження Грабовської Р.Г. стосуються асимптотичного поводження розв’язків сингулярних систем нелінійних диференціальних рівнянь нерозв’язних відносно похідних, а також систем диференціально операторних рівнянь. Під її науковим керівництвом підготовлено 10 кандидатів наук, двоє з яких - доцент Самкова Г.Є. и доцент Тінгаев О.А. працюють на кафедрі.

Самкова Галина Євгеніевна продовжує наукові дослідження в цьому напрямку, пошируючи їх на нові класи систем диференціальних рівнянь, зокрема, на напівявні системи диференціальних рівнянь в комплексній області. Під її науковим керівництвом підготовлена одна кандидатська дисертація. Професійним захопленням доцента Самкової Г.Є. є розробка програм математичної підготовки дітей і молоді, починаючи з дошкільного віку і закінчуючи аспірантурою. Одним з напрямків цієї роботи є її авторська програма «Логічна математика», що затверджена Інститутом удосконалення вчителів Управління освіти Одеської державної адміністрації України. Активно займається реалізацієй розроблених програм в ЗОШ «НИКА-М» (в 0 – 11 класах) і деяких інших школах м. Одеси. Вона є членом журі Всеукраїнської математичної олімпіади школярів, членом журі і складачем задач Всеукраїнської математичної Internet-олімпіади.

З 2007року на кафедрі працює доктор технічних наук, професор Дмитришин Дмитро Володимирович. Він випускник Ленінградського державного університету. Кандидатську дисертацію «Качественные методы исследования специальных систем с последействием» виконав під науковим керівництвом член-кореспондента АН СССР, професора Зубова В.І. Докторську дисертацію «Методы робастного анализа линейных систем управления с последействием» захистив у 2003 році в Інституті космічних досліджень НАНУ і НКАУ. Основний напрямок його наукових досліджень - математичні методи робастного аналізу та синтезу систем управління з післядією і їх застосування. Співавтор трьох монографій і автор понад 40 наукових праць.

В теперішній час на кафедрі також працюють кандидат фізико-математичних наук, доцент Шарай Н.В. і два асистента Харьков В.М. і Максимов О.О.

Підготовлені кафедрою кадри вищої кваліфікації (кандидати наук) працюють у вищих навчальних закладах Одеси, Украіни, Росії і країнах далекого зарубіжжя.

Кафедра підтримує тісні наукові контакти з відомими школами з теорії диференціальних рівнянь - Київською, Московською, Тбілиською, Львівською, Чернівецькою тощо.

За останні три роки на кафедрі виконано три кандидатських дисертацій. Поряд з традиційними спецкурсами в теперішній час читаються і розробляються нові спеціальні курси, як в області теорії звичайних диференціальних рівнянь , так і в області математичного моделювання в економіці.

Основні публікації співробітників кафедри

Монографії

Статті в наукових журналах і збірниках наукових праць

Дисертації співробітників кафедри

Дисертацїї, що виконані під керівництвом співробітників кафедри

Методична література, що видана співробітниками кафедри

Спецкурси, що читаються на кафедрі

Проф. Євтухов В.М.

с/к “Асимптотичне інтегрування нелінійних неавтономних диференціальних рівнянь пршого порядку”(ІІІ курс спеціальність “Математика”).

Даний спецкурс є вступним в асимптотичні методи теорії звичайних диференціальних рівнянь. Тут спочатку уводяться слабкі та сильні асимптотичні відношення порівнювання функцій і вивчаются властивості таких відношень. Встановлюються різні ознаки порівнювання функцій, а також граничні властивості неявних функцій і розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Викладаються методи асимптотичного обчислювання інтегралів з зміною верхньою границею. Далі, встановлюються інтегральні та коефіцієнтні ознаки існування обмежених і зникаючих розв’язків у квазілінійних неавтономних диференціальних рівнянь першого порядку. В заключній частині спецкурсу з використанням попереднього матеріалу будується теорія асимптотичного інтегрування неавтономних звичайних диференціальних рівнянь першого порядку зі степеневими нелінійностями. Метою спецкурсу є ознайомлення студентів на простіших класах диференціальних рівнянь першого порядку з методами дослідження асимптотичного поводження розв’язків диференціальних рівнянь, що в подальшому стануть основою для їх розповсюдження на неавтономні нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків і систем таких рівнянь.

с/к “Асимптотичне інтегрування систем лінійних неавтономних диференціальних рівнянь (ІV курс спеціальність “Математика”).

У спецкурсі спочатку викладаються методи асимптотичного інтегрування систем лінійних однорідних неавтономних диференціальних рівнянь, що близькі до діагональних, зокрема теорія L- діагональних систем, а також систем з квазіжордановою нормальною формою матриці коефіцієнтів. Вивчаються асимптотичні властивості коренів многочленів з майже сталими коефіцієнтами. Після цього вилучаються класи систем лінійних однорідних неавтономних диференціальних рівнянь загального виду, що допускають зведення за допомогою різних типів перетворень до систем, які дослідженні у першій частині спецкурсу. Метою спецкурсу є ознайомлення студентів з методами дослідження асимптотичного поводження розв’язків систем лінійних неавтономних диференціальних рівнянь.

с/к “Асимптотичне інтегрування лінійних неавтономних диференціальних рівнянь вищих порядків ” (ІV курс спеціальність “Математика”).

На основі теорії L-діагональних систем диференціальних рівнянь встановлюється у термінах існування двох функцій з певними властивостями основной результат про асимптотику фундаментального сім’я розв’язків лінійного неавтономного диференціального рівняння n-го порядку. За рахунок вибору цих двох функцій вилучаються класи рівнянь, що допускають встановлення асимптотики їх фундаментального сім’я розв’язків. При цьому основна увага приділяється диференціальним рівнянням з майже сталими коефіцієнтами, рівнянням, що асимптотично близькі до рівнянь Ейлераа і рівнянням, що асимптотично близькі до двочлених. Метою спецкурсу є оволодіння студентами методикою встановлення асимптотики всіх розв’язків лінійних неавтономних диференціальних рівнянь выщих порядків.

с/к “Асимптотичне інтегрування нелінійних неавтономних диференціальних рівнянь вищих порядків”(V курс спеціальність “Математика”).

Спочатку встановлюються інтегральні і коефіцієнтні ознаки існування обмежених і зникаючих розв’язків у систем квазілінійних диференціальних рівнянь. Далі, для нелінійного диференціального рівняння n-го порядку загального виду уводиться поняття -розв’язку і досліджуються апріорні властивості таких розв’язків. Після цього на прикладі нелінійного диференціального рівняння типу Емдена-Фаулера n-го порядку будується методика встановлення асимптотики всіх можливих типів -розв’язків.

Проф. Дмитришин Д.В., Доц. Самкова Г.Е.

с/к “Елементи якісної теорії звичайних диференціальних рівнянь і систем ”(ІІІ курс спеціальність “Математика”).

В основу спецкурсу покладено теорію автономних систем звичайних диференціальних рівнянь. Вивчаються властивості розв’язків автономних систем. Для лінійних однорідних систем зі сталими коефіцієнтами другого порядку вивчаються типи изольованих і неізольованих точок спокою системи. Для нелінійних систем автономних звичайних диференціальних рівнянь на основі якісно-геометричних методів вмвчаються властивості фазових траекторій в околі ізольованих точок спокою системи.

с/к “Аналітична теорія звичайних диференціальних рівнянь і систем” (ІІІ курс спеціальність “Математика”).

Спецкурс складається з двох разділів: теореми існування та єдиності аналітичних розв’язків задач Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь в нормальній формі Коші з невідомою комплекснозначною вектор-функцією комплексної змінної; вивчається поведінка розв’язків поблизу особливих точок систем звичайних диференціальних рівнянь у нормальній формі Коші з невідомою комплексно значною вектор-функцією комплексної змінної. В першому розділі вивчається теорема Коші, висновки з неї і теорема единості Пенлеве. Другий розділ присвячено теорії ізольованих і неізольованих особливих точок однозначних и многозначних функцій комплексної змінної, деякі вибрані питання теорії функцій багатьох комплексних змінних. Вивчаються рухомі і нерухомі особливі точки розв’язків систем звичайних диференціальних рівнянь. Для систем звичайних диференціальних рівнянь в нормальній формі Коші при умові, що права частина системи має особливі точки заданих типів, досліджуються питання про наявність аналітичних і неаналітичних розв’язків, причому для останніх вивчаються типи особливих точок розв’язків.

с/к “Основи теорії стійкості систем звичайних лінійних диференціальних рівнянь за О.М. Ляпуновим ”(V курс спеціальність “Математика”).

Спецкурс складається з п’ти розділів:

с/к “Теория устойчивости обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений и систем по А.М. Ляпунову”(V курс специальность “Математика”).

Спецкурс складається з п’яти розділів:

с/c “ Асимптотичне поводження розв’язків систем звичайних диференціальних рівнянь” (VI курс спеціальність “Математика”).

Семінар присвячений розгляду основних ідей дослідження різних класів задач теорії звичайних і багатовимірних диференціальних рівнянь і систем.

Доц. Грабовская Р.Г.

с/к “Асимптотичні розвинення та операційне числення” (III курс спеціальність “Математика”).

Теореми Бореля, Ван-дер-Коропута. Інтеграл і метод Лапласа та його обчислення. Операційний метод і формули.

с/к “Рівняння з відхиляющимся аргументом” (IV курс спеціальність “Математика”).

Теорема існування для рівняння запізніючего типу і нейтрального типу. Неперервна залежність розв’язків від початкових даних. Метод кроків. Геометричний сенс. Властивості.

Доц. Тингаев А.А.

с/к “Крайові задачі” (V курс спеціальність “Математика”).

Спецкурс присвячений знайомству з елементами теорії крайових задач для лінійних звичайних диференціальних рівнянь n-го порядку, зокрема, само сопряжених крайових задач.

с/к “Теореми існування” (III курс спеціальність “Математика”).

Розглядається важливіший клас теорем аналізу — теореми існування розв’язків різноманітних задач. Вивчається постановка і методи дослідження як класичних (наприклад, задача Коші для систем ЗДУ), так і сучасних задач. Показани застосування до дослідження питання існування принципа стислих відображень, теореми Брауера, принципа Шаудера, принципа Важевського.

Доц. Шарай Н.В.

с/к “Елементи теорії матриць у теорії диференціальних рівнянь” (III курс спеціальність “Математика”).

Розглядаються основні понятт, пов’язані з теорією побудови регулярних і сингулярних жмутків матриць. Дано механфізм побудови матриць перетворення і їх застосування для напів’явних систем диференціальних рівнянь у випадку сталого регулярного і сингулярного жмутка матриць.

Доц. Скрипник Н.В.

с/к “Диференціальні рівняння з розривною правою частиною ”(V, VI курс спеціальність “Прикладна математика”).

У термінах розривних систем формулюються багаточисельні змістовні інженерно – технічні задачі, що пов’язані, наприклад, з рухом літаючих апаратів, розповсюдженням сейсмічних коливань, ударних і вибухівних процесів, управлінням маніпуляторами. Розривні системы широко використовуються в экономіці, хімічної технології, теорії автоматичного керування, теорії систем зі змінною структурою і інших областях науки. Тому розривні системи є об’єктом інтенсивних математичних досліджень. Метою цього спецкурсу є ознайомлення студентів з питаннями узагальнення розв’язку і їх властивостями, побудовою і обгрунтуванням алгоритмів асимптотичних методів для диференціальних рівнянь, розривних на деякій поверхні.

с/к “Диференціальні рівняння з багатозначною правою частиною” (V, VI курс спеціальність “Прикладна математика”).

 Диференціальні рівняння з багатозначною правою частиною виникають при дослідженні еволюційних процесів у випадках неповноти інформації, дії обмежених збурень, невиконанння умов єдинності розв’язку і т.п. Крім того, диференціальні включення дають можливість описувати динаміку керуємих процесів і тому широко застосовуються у теории оптимального керування. Методи дослідження диференціальних включень знаходять застосування в теорії диференціальних рівнянь з розривною правою частиною. Тому диференціальні рівняння з багатозначною правою частиною є об’єктом інтенсивних математичних досліджень. Метою спецкурсу є ознайомлення студентів з означеннями і властивостями розв’язків диференціального включення і диференціального рівняння з похідною Хукухари, асимптотичними методами для диференціальних включень і диференціальних рівнянь з похідною Хукухари. В спецкурсі також вивчається теорія багатозначних відображень і опорних функцій, яка є основни апаратом при вивченні теорії диференціальних рівнянь з багатозначною правою частиною.