Кафедра вищої математики

Керівник підрозділу: Костін Олександр Васильович – доктор фізико-математичних наук, професор.

 

Співробітники підрозділу:

Контактна інформація підрозділу:

телефон: 716–87–62 вул. Дворянська, 2.

Спеціалізація підрозділу

Кафедра вищої математики здійснює підготовку спеціалістів (бакалаврів, спеціалістів, магістрів, а також аспірантів) на відділенні теоретичної математики ІМЕМ за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння, поряд з кафедрою диференціальних рівнянь, яка є головною щодо забезпечення спеціалізації, і деякими іншими кафедрами ІМЕМ. Відповідні цій спеціалізації спецкурси читаються проф. Костіним О.В., проф. Керекешею П.В. та доц. Щоголевим С.А. Вони також здійснюють наукове керівництво аспірантами.

Історія підрозділу

Кафедра створена у 1976 році з метою викладання вищої математики на нематематичних факультетах університету. Завідувач кафедри: доктор фізико–математичних наук, професор Костін Олександр Васильович. Рік обрання 1976. Кількість викладачів: усього на кафедрі 8 штатних викладачів, в тому числі 2 професори, 5 доцентів, 1 старший викладач.

Кафедра здійснює викладання вищої математики (див. перелік курсів, що читаються викладачами кафедри) на нематематичних факультетах ОНУ (виключаючи низку спеціальностей, що виникли після 1976 року), а також спецкурсів за спеціалізацією 01.01.02 у закріплених за кафедрою групах студентів III–IY курсів, та низку загальних курсів на відділенні теоретичної математики, у тому числі для магістрів (V, VI курсів).

Наукова діяльність підрозділу

Наукова діяльність кафедри здійснюється за двома основними напрямами. I)Диференціальні рівняння: асимптотичні методи, теорія стійкості, теорія коливань, II) Інтегро-диференціальні рівняння та рівняння з частинними похідними математичної фізики (ІДР та РЧП).

Категорія роботи: фундаментальна. Пріоритетний напрям: Фундаментальні дослідження з найважливіших проблем природничих, суспільних і гуманітарних наук.

Проблематика дослідження: умови існування, асимптотична поведінка та стійкість розв’язків, точне та наближене знаходження розв’язків, які вказані в напрямах I, II. Науковим керівником напряму I являється професор Костін О.В., а науковим керівником напряму II – професор Керекеша П.В.

За період існування кафедри на ній пройшли успішне навчання в аспірантурі (з захистом кандидатських дисертацій) 16 аспірантів. З них 10 під керівництвом проф. Костіна О.В., 3 під керівництвом проф. Керекеші П.В., 2 під керівництвом доц. Євтухова В.М. (учень проф. Костіна О.В., працював на кафедрі у 1976– 1987 рр.), 1 під керівництвом доц. Вітриченка І.Є. (учень проф. Костіна О.В., працював на кафедрі у 1976–2000 рр.).

Зараз Євтухов В.М. та Вітриченко І.Є. являються докторами фіз. – мат. наук, причому теми їх докторських дисертацій визначилися як продовження та розвиток тем їх кандидатських дисертацій.

У наукових дослідженнях кафедри можна відмітити посилення досліджень в галузі теорії коливань (роботи Костіна О.В. з учнями та низка робіт Щоголева С.А.) та появу досліджень в напрямі, який виникло на стиці теорії інтегральних рівнянь та теорії ймовірностей (роботи Керекеші П.В. та Керекеші Д.П.)

Перелік відповідних публікацій співробітників кафедри додається.

Наведемо короткий огляд наукових досліджень, що проводилися у рамках вказаних напрямів.

Напрям I.

Далі використані скорочення: ЗДР-n – звичайне диференціальне рівняння порядку , СЗДР – система ЗДР, КСЗДР – квазілінійна СЗДР, ЛСЗДР – лінійна СЗДР. Всі рівняння та системи, що розглядаються, вважаються неавтономними. При посиланнях в пп.. 1), 2) використана нумерація з переліку робіт Костіна О.В., а в п. 3) також нумерація з переліку робіт Щоголева С.А.

1). Асимптотичні методи в теорії ЗДР.

Центральне місце в цьому розділі займають дослідження з асимптотики розв’язків істотно нелінійних ЗДР. Цій тематиці присвячені роботи Костіна О.В.: [8] (ЗДР-1, 1967), [11] (ЗДР-1, не розв’язані відносно похідної, 1968), [14] (двочленне ЗДР-2 типу Емдена–Фаулера, 1970), [15] (розповсюдження метода роботи [14] на двочленне ЗДР-2 більш загального вигляду, 1976, сумісно з Євтуховим В.М.), [22] (багаточленне нелінійне ЗДР-n загального виду, 1987). В роботах Костіна О.В. [12,13] досліджено асимптотику непродовжувальних розв’язків нелінійних ЗДР-2 і особливі точки таких рівнянь. З вказаних досліджень слід відмітити роботи [12, 22], як такі, що не мають аналогів у літературі.

Робота [15] з’явилася основою подальших досліджень Євтухова В.М. та його учнів.

Робота [8] в об'єднанні з другим методом О.М.Ляпунова, а також з методом узагальнених зрізаючих перетворень (Ніконенко В.В.; Вітриченко І.Є., Ніконенко В.В.) дозволила отримати результати у теорії стійкості, які не мають аналогів в літературі [17] (Костін О.В., Вітриченко І.Є., 1982), що знайшло продовження в подальших роботах Вітриченко І.Є. в період 1982–2000 р.

Робота [8] дозволила також розробити регулярний метод дослідження класичної проблеми розрізнення в теорії ЗДР-1 [33] (Костін О.В., Кондратьєва А.Є., 2003).

Дослідження асимптотики розв’язків нелінійних ЗДР тісно пов’язано з проблемою існування o– розв’язків КСЗДР та проблемою побудови асимптотичних розвинень вказаних o– розв’язків.

Цій тематиці присвячені роботи Костіна О.В. [2] (1961), [3] (1961), [5] (1964), [7] (1965), [9,10] (1967), [22, 24] (1987), роботи Костіна О.В., Кореновського А.О. [25] (1988), [30] (1995), робота Костіна О.В., Окари Д.В. [29] (1994).

З цих робіт слід відмітити роботи [7, 9, 10, 22, 29, 30] як такі, що містять найбільш загальні результати.

Теорії нормальних форм КСЗДР присвячена робота Костіна О.В., Чернишова В.Г. [21] (1986), яка містить досить загальні результати в цьому напрямку. Роботи Костіна О.В. [4] (1962), [16] (1980), [23] (1987); [27,28] (Костін О.В., Амер К.А., 1994), [32] (Костін О.В., Амелькін К.В., 2004) присвячені асимптотиці розв’язків ЛСЗДР.

Роботи Дрік Н.Г. [1–4] (див. перелік публікацій Дрік Н.Г.) присвячені асимптотиці двочленних нелінійних ЗДР-2 і виконані під керівництвом Євтухова В.М.

2). Теорія стійкості.

Роботи Костіна О.В. [1] (1956), [3] (1961), [19] (Костін О.В.,1984) присвячені узагальненню теорії стійкості О.Перрона (випадок майже трикутних КСЗДР), зміст роботи [17] відмічено вище; В роботі [34] (Костін О.В., Щоголев С.А., 2006) досліджено стійкість ЛСЗДР у критичних випадках. У роботі [35] (Костін О.В., Щоголев С.А., 2008) досліджено існування та стійкість розв’язку КСЗДР, зображуваного у вигляді рядів Фур’є з повільно змінними параметрами.

3). Теорія коливань.

Роботи Костіна О.В., Щоголева С.А. [20, 26, 31, 36] присвячені умовам існування та властивостям розв’язків КСЗДР, зображуваних у вигляді рядів Фур’є з повільно змінними коефіцієнтами та частотою (розв’язки класу В ). У роботах [20, 26, 36] розглянуто некритичний випадок (відокремленість від нуля дійсних частин власних значень матриці лінійної частини) . У роботі [31] (1998) вказана задача розв’язувалась для суто уявних власних чисел на нескінченному проміжку в нерезонансному випадку при умові додаткових обмежень на нелінійність.

В роботі Костіна О.В., Амелькіна К.В. [34] (2004) розглядався метод малих змінних параметрів для КСЗДР.

В роботах Щоголева С.А. (нумерація з переліку його робіт) [15, 20, 30] розглянуто резонансні випадки на нескінченному проміжку. В роботах [5,28] вивчено випадок коливної матриці лінійної частини. В роботах [17, 31] задачу розглянуто на асимптотично великому інтервалі. В роботах [22] (сумісно с Кореновським А.О.), [23,29] досліджувались багаточастотні КСЗДР. В роботах [12, 14, 16] на підставі вказаних результатів отримано ознаки повного розподілу ЛСЗДР (зокрема у роботі [12] отримано аналог теореми Флоке–Ляпунова для лінійних систем з коефіцієнтами з класу В). У роботах [6, 7, 8, 11, 19, 32] аналогічні результати отримано для деяких інших класів рівнянь.

Напрям II.

Тут найбільш важливі результати отримано проф. Керекешею П.В. та старшим викладачем Керекешею Д.П.

Основні результати проф. Керекеші П.В.

  1. Отримав інтегральне зображання аналітичної функції в кільці.
  2. Отримав точний розв’язок матричної задачі Карлемана для двох пар функцій у кільці.
  3. Отримав точний розв’язок третьої гармонічної задачі для клину.
  4. Отримав точний розв’язок (двома способами) задачу кручення стрижня напівкруглого перетину із частковим підкріпленням по дузі.
  5. Створив ефективний метод наближеного розв’язку задач кручення стрижнів довільного перетину із частковим і повним підкріпленням.
  6. Отримав точний розв’язок задачі термопружності для клину з конвективним теплообміном на гранях при наявності тепла.
  7. Отримав точний розв’язок основної задачі пружності для симетричної лунки.
  8. Вивчив досить повно задачу Карлемана для смуги з паралельними зсувом в усередину.

Основні результати старшого викладача Керекеші Д.П.:

  1. Отримав інтегральне зображення аналітичної функції в смузі, яке може бути продовжено у верхню півплощину;
  2. Запропонував загальний підхід до побудови розв’язків деяких класів інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь з майже різницевими ядрами;
  3. Запропонував удосконалений підхід конструктивної побудови розв’язків інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь узагальненої теорії ризику.

В області видання навчальних посібників та підручників слід відмітити видання:

  1. Костин А.В. Устойчивость и асимптотика квазилинейных неавтономних дифференциальных систем. – Одесса, Изд–во ОГУ, 1984. – 94 с.
  2. Керекеша П. В. Круглов В.Е., Попов Г.Я. Метод факторизации и его численная реалізация. Учебное пособие. Одесская городская типография Управления Одесского облисполкома, 1976.–80 c. 2. Керекеша П. В. Буріменко Ю.І. Вища математика для менеджерів та економістів. Навчальний посібник з грифом МОН України. Видавництво”Optimum”,Одеса,2001.–292 с.
  3. Керекеша П. В. Лекції і вправи з вищої математики. Частина 1. Для студентів біологічних факультетів. Навчальний посібник з грифом МОН України. Видавництво”Астропринт”, Одеса, 2002.–80 с.
  4. Керекеша П. В. Лекції і вправи з вищої математики. Частина 2. Для студентів біологічних факультетів. Навчальний посібник з грифом МОН України. Видавництво”Астропринт”, Одеса, 2004.–144 с
  5. Керекеша П. В. Лекції і вправи з вищої математики для студентів економічних спеціальностей. Навчальний посібник з грифом МОН України. Видавництво” Астропринт”, Одеса, 2003.–520 с. 9.

Курси, які читає кафедра:

Денне відділення

Заочне та вечірне відділення.

Спецкурси:

Спецкурси професора Костіна О.В.

III курс (1,2 семестри)

Некласичні теореми існування розв’язків сингулярної задачі Коші. Задача Коші для деякого диференціального рівняння або для системи диференціальних рівнянь являється сингулярною, якщо у околі початкової умови не виконані умови класичних теорем існування. Задачі такого роду уявляють собою великий теоретичний та практичний інтерес. Мета спецкурсу – викладення методів, які дозволяють дослідити вказані задачі (роботи К.Каратеодорі, М. Фроммера, Г.Харді, В.А.Чечика, І.Т.Кігурадзе, О.В.Костіна).

IV курс (1, 2 семестри)

Метод майже трикутних систем в теорії стійкості. Творцем метода майже діагональних КСЗДР в теорії стійкості є німецький математик О.Перрон. У випадку лінійних систем найбільш загальна ознака стійкості була отримана М.І.Гавриловим. У спецкурсі викладається узагальнення та уточнення результатів О.Перрона та М.І.Гаврилова в роботах Костіна О.В. для випадку майже трикутних КСЗДР. Розглядається також задача про існування у майже трикутної КСЗДР так званих о–розв’язків (або асимптотичних розв’язків). Показано важливе значення останньої задачі в асимптотичній теорії ЗДР та СЗДР.

V курс (1 семестр, спеціалісти)

Асимптотичні методи в теорії лінійних однорідних неавтономних систем звичайних диференціальних рівнянь. Викладається теорія L–діагональних лінійних систем (теорія М.Мателля, Н. Левінсона, І.М.Рапопорта), а також її узагальнення в роботах М.В.Федорюка (у тому числі для дослідження асимптотики розв’язків лінійного ЗДР-n). Викладається метод узагальненних зрізаючих перетворень В.В.Ніконенко. Розглядаються лінійні однорідні СЗДР з малим параметром при похідних. Викладаються результати С.Ф.Фещенко, М.І.Шкіля, О.В.Костіна.

V курс (1,2 семестри, магістри)

Асимптотичні методи в теорії звичайних диференціальних рівнян (I). Викладається класичний метод Харді дослідження асимптотики продовжувальних розв’язків ЗДР-1 та узагальнення цього метода в роботах Костіна О.В. Викладаються асимптотичні методи в теорії лінійних СЗДР (див. спецкурс для спеціалістів V-го курсу). Викладається теорія асимптотичних розвинень о–розв’язків КСЗДР. Викладається метод дослідження асимптотики продовжувальних вправо розв’язків ЗДР-2 Емдена–Фаулера та узагальненого рівняння типу Емдена–Фаулера. Викладається метод дослідження асимптотики продовжувальних вправо розв’язків багаточленного нелінійного ЗДР-n, розроблений в роботах Костіна О.В. Розглядається задача про асимптоти ку непродовжувальних розв’язків нелінійного ЗДР-1 та ЗДР-2.

VI курс (1 семестр)

Асимптотичні методи в теорії звичайних диференціальних рівнянь (II). Продовження спецкурсу для магістрів V курсу. Зміст спецкурсу визначається щорічно відповідно тематиці магістерських робіт. Зауваження. В спецкурсах використовуються також результати деяких дипломних та магістерських робіт, а також кандидатських дисертацій, виконаних на кафедрі вищої математики.

Спецкурси доцента Керекеші Д.П.

III курс (1,2 семестри)

Комбінований метод перетворення Фур'є й спряження аналітичних функцій у теорії інтегральних рівнянь із застосуваннями У спецкурсі викладається метод спряження аналітичних функцій, що у сукупності з методом перетворення Фур'є дозволяє істотно розширити клас інтегральних рівнянь, розв'язуваних конструктивно. Як застосування розглядаються конкретні задачі з теорії пружності, теорії прогнозування й теорії ризику.

IV курс (1,2 семестри)

Задача Рімана у просторах основних та узагальнених функцій У спецкурсі вивчається задача Рімана на дійсній вісі в просторах основних і узагальнених функцій. За допомогою методу факторизації будується розв’язок цієї задачі. Розглядаються також питання наближеного розв’язку задачі Рімана на дійсній вісі з вказівкою оцінки похибки.

V курс (1 семестр, спеціалісти)

Задача Карлемана в просторах основних і узагальнених функцій У спецкурсі вивчається задача Карлемана для смуги, задача Карлемана в кільці, а також трьохелементна задача Карлемана для смуги. Викладаються методи їхнього розв’язання: метод факторизації й метод конформного склеювання, причому розв’язок шукається як у просторах основних, так і в просторах узагальнених функцій.

Спецкурси доцента Щоголева С.А.

III курс (1,2 семестри)

Метод малого параметра Пуанкаре в теорії нелінійних коливань Викладається класичний метод малого параметра побудови періодичних розв’язків квазілінійних диференціальних рівнянь теорії коливань та КСЗДР. Розглядаються неавтономні та автономні рівняння. Викладається метод побудови періодичних розв’язків у резонансному та нерезонансному випадках, розглядається питання стійкості розв'язків. Розглядаються зокрема задачі прикладного характеру. Розглядаються методи побудови узагальнених періодичних розв’язків для КСЗДР з повільно змінними параметрами.

IV курс (1.2 семестри)

Асимптотичні методи в теорії нелінійних коливань. Викладаються методи Крилова–Боголюбова та Крилова–Боголюбова–Митропольского побудови асимптотичних розв’язків квазілінійних ЗДР-2, у тому числі для рівнянь з повільно змінними параметрами. Викладається метод усереднення. Розглядається метод фазової площини якісного дослідження нелінійних СЗДР-2.

Зв’язки з міжнародними та вітчизняними організаціями